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组合优化的渐近学习路线及知识框架

· 8 min read
JIANG
JIANG
PI of the Ph.D. Creative Station

本文围绕组合优化中的经典铺瓷砖问题，系统梳理了新手从零起步的学习路线及知识框架。文章首先介绍了铺砖问题的数学背景与实际意义，提炼其在组合优化中的核心地位。随后，详细阐述了动态规划、状态压缩动态规划、深度优先搜索、最优性分析、可行性分析及组合数学等主流建模与求解方法。最后，展望了强化学习等前沿技术在组合优化领域的应用前景，为读者构建理论与实践相结合的知识体系提供了参考。

1. 背景介绍​

铺瓷砖问题是一个经典的数学与工程结合的问题，它不仅涉及美学设计，还蕴含着深刻的数学原理。从科普的角度来看，这个问题可以被理解为：如何将几何形状（如正方形、长方形等）排列组合，使其能够覆盖整个平面或特定形状的区域，且无任何空隙或重叠1。

2. 问题提炼​

铺砖是指将几何图形排列组合，使其能够覆盖整个平面，或者填充其他形状，且无任何空隙或重叠。大多数平面的铺砖是周期性的，即图案在平面上无限重复，但也有非周期性的铺砖方式，例如罗杰·彭罗斯发现的一对形状，它们只能以非周期性的方式覆盖平。2

数学意义。铺砖问题在数学上属于组合优化问题，它不仅涉及几何图形的排列，还涉及到数学逻辑、算法设计等多个领域。例如，著名的“方正方形问题”就是一种铺砖问题，它探讨了在特定条件下是否可以使用正方形瓷砖完成铺砖。3

实际用途。在实际生活中，铺砖不仅是一种装饰手段，更是一种重要的工程实践。例如，在装修房屋时，如何选择合适的瓷砖尺寸、颜色和铺贴方式，以达到美观和实用的目的，是装修工人需要考虑的重要问题。此外，铺砖还涉及到基层处理、瓷砖选择、接缝处理等多个技术细节，这些都需要在实际操作中仔细考虑。3

数学挑战。铺砖问题在数学上具有一定的挑战性。例如，使用 1×2 的瓷砖（可以横着或竖着铺）来覆盖一个 N×M 的网格，求出所有可能的铺设方案数，这是一个典型的组合优化问题。这类问题通常需要使用动态规划和状态压缩技术来解决。此外，还有一些铺砖问题涉及到奇偶性问题，有优雅的解法（或证明不可能性）。 4

提炼总结。总之，铺砖问题不仅是一个数学问题，更是一个融合了美学、工程和算法的综合性问题。而铺砖问题代表了数学中的一类问题的求解-- 组合优化。通过了组合优化的基本概念、数学意义、实际应用、数学挑战、非周期性、算法与计算、工程实践以及未来发展方向，我们可以更好地理解和解决科技、工程中的一大类问题。

目标

为了解决一类组合优化问题，作为一个新手如何从零开始学习和实践，以及如何构建相关的知识技能框架，是一个重要目标。

3. 渐近学习路线​

在运筹优化中，铺瓷砖问题的数学建模方法主要包括动态规划、状态压缩动态规划、深度优先搜索（DFS）以及最优性分析等。以下是对这些方法的详细说明：

3.1. 动态规划​

动态规划是一种常用的数学建模方法，用于解决铺瓷砖问题。例如，在 2∗n2 * n 的墙面上，使用 2∗12 * 1 的 A 砖和 2∗22 * 2 的 B 砖进行铺砌时，可以使用动态规划来计算方案数。动态规划的递推关系可以表示为 dp[i]=dp[i−1]+2∗dp[i−2]d p \left[\right. i \left]\right. = d p \left[\right. i - 1 \left]\right. + 2 * d p \left[\right. i - 2 \left]\right.，其中 dp[i]d p \left[\right. i \left]\right. 表示长度为 ii 的墙面的铺法数量。这种方法通过将问题分解为更小的子问题，并利用已知的子问题解来求解当前问题，从而避免了重复计算。

3.2. 状态压缩动态规划​

在处理 M∗NM * N 的墙面时，可以使用状态压缩动态规划来解决铺瓷砖问题。例如，使用 1∗21 * 2 的瓷砖，可以横着或竖着铺砌。状态压缩动态规划通过将问题的状态压缩为一个更小的维度，从而减少计算量。例如，可以使用一个二维数组来表示当前状态，并根据当前状态推导出下一个状态，从而计算出所有可能的铺法数量。

动态规划在铺瓷砖问题中的状态压缩技术是如何实现的？

动态规划在铺瓷砖问题中的状态压缩技术主要通过将每行的砖块布局编码为二进制状态来实现。具体来说，每行的砖块排列方式可以表示为一个二进制数，其中每一位代表该位置是否被砖块覆盖。例如，对于一个宽度为 WW 的行，可以使用一个长度为 WW 的二进制数来表示该行的砖块排列情况，其中 1 表示有砖块覆盖，0 表示没有覆盖。5

在算法实现中，通常会使用位运算来优化状态表示，从而减少内存占用并提高计算效率。例如，可以使用整数来表示一行的状态，每个位对应一个位置，这样可以大大减少所需的空间。此外，还需要满足总面积为偶数的前提条件，以确保问题的可解性。6

状态压缩动态规划方法通过预计算状态转移矩阵，逐行推导出所有可能的铺砖方案数。这种方法不仅优化了空间复杂度，还成为处理高维场景（如扩展至 H×WH \times W 方块）的核心技术。

3.3. 深度优先搜索（DFS）​

DFS 是另一种常用的数学建模方法，用于解决铺瓷砖问题。例如，在地面上有一些障碍物的情况下，可以使用 DFS 来判断是否可以不用切割砖块铺满地面。DFS 通过递归地探索所有可能的铺砌方式，并记录每种方式的可行性。这种方法适用于较小规模的问题，但对于大规模问题可能会导致较高的时间复杂度。

3.4. 最优性分析​

在某些铺瓷砖问题中，除了计算方案数外，还需要求解最优解。例如，在 n∗mn * m 的墙面上，使用正方形瓷砖，目标是最少需要用到多少块方形瓷砖。最优性分析可以通过动态规划或其他优化算法来实现，例如通过比较不同铺砌方式的瓷砖数量，选择最优解。

3.5. 可行性分析​

在某些情况下，需要判断是否可以铺满指定的墙面。例如，在地面上有一些障碍物的情况下，需要判断是否可以不用切割砖块铺满地面。可行性分析可以通过 DFS 或动态规划来实现，通过探索所有可能的铺砌方式，并判断是否存在一种方式可以完全覆盖墙面。

3.6. 组合数学方法​

在某些特定的铺瓷砖问题中，可以使用组合数学方法来计算方案数。例如，在给定的长度为 NN 的地板上，使用三种不同长度的瓷砖（1、2、3）进行铺设，使得任意两个相邻的瓷砖长度不等，可以使用组合数学方法来计算所有可能的铺设方法总数以及其中使用长度为 1 的瓷砖的总数。这种方法通常涉及到排列组合的基本原理和公式，可以通过数学归纳法或递推关系来求解。

综上，铺瓷砖问题的数学建模方法包括动态规划、状态压缩动态规划、深度优先搜索、最优性分析、可行性分析和组合数学方法等。这些方法可以根据具体问题的需求进行选择和组合，以达到最优的解决方案。

4. 未来发展​

随着科技的发展，铺砖问题也在不断进步。例如，近年来，强化学习和神经网络方法在解决组合优化问题中取得了显著进展。通过学习如何将组合优化问题建模为马尔可夫决策过程（MDP），并利用强化学习算法（如 POMO、Poppy 等）来寻找最优解，可以有效提高求解效率和准确性。

Footnotes​

  1. 递归递推找规律问题经典之铺地砖 ↩

  2. 万万没想到！拼瓷砖也能拼出顶级数学难题？ ↩

  3. 数学大师的创造与失误 ↩ ↩2

  4. 动态规划算法题集 ↩

  5. 【动态规划】状压 DP 铺瓷砖问题分析 ↩

  6. 铺砖问题——状态压缩型动态规划 ↩